为什么不满足奈奎斯特采样定理就会出现混叠现象？混叠是由于傅里叶变换引入的吗？

时间： 2023-11-05 来源：KEYSIGHT（是德科技）知乎

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奈奎斯特频率（Nyquist Frequency）是为防止信号混叠需要定义最小采样频率。

混叠

当采样频率设置不合理时，即采样频率低于2倍的信号频率时，会导致原本的高频信号被采样成低频信号。如下图所示，红色信号是原始的高频信号，但是由于采样频率不满足采样定理的要求，导致实际采样点如图中蓝色实心点所示，将这些蓝色实际采样点连成曲线，可以明显地看出这是一个低频信号。在图示的时间长度内，原始红色信号有18个周期，但采样后的蓝色信号只有2个周期。也就是采样后的信号频率成分为原始信号频率成分的1/9，这就是所谓的混叠：高频混叠成低频了。

在这给出一个扫频的混叠实例。

扫频信号为100-600Hz，采样频率为1000Hz，因而可观测到500Hz以内的信号成分。因此，对100-500Hz以内的信号进行采样，频率是没有问题的，但是对于超出500Hz以上的频率成分，从下面动态图中的频谱可以看出这部分信号最后混叠成了400-500Hz。

对连续信号进行等时间采样时，如果采样频率不满足采样定理，采样后的信号频率就会发生混叠，即高于奈奎斯特频率（采样频率的一半）的频率成分将被重构成低于奈奎斯特频率的信号。这种频谱的重叠导致的失真称为混叠，也就是高频信号被混叠成了低频信号。

信号采样原理及应用

采样间隔的选择和信号混淆：对模拟信号采样首先要确定采样间隔。如何合理选择△t 涉及到许多需要考虑的技术因素。一般而言，采样频率越高，采样点数就越密，所得离散信号就越逼近于原信号。

但过高的采样频率并不可取，对固定长度（T）的信号，采集到过大的数据量（N=T/△t），给计算机增加不必要的计算工作量和存储空间；若数据量（N）限定，则采样时间过短，会导致一些数据信息被排斥在外。采样频率过低，采样点间隔过远，则离散信号不足以反映原有信号波形特征，无法使信号复原，造成信号混淆。

直观地说信号混迭是把本该是高频的信号误认为低频信号。

根据采样定理可以得到,当采样频率大于原信号中最大组成频率的两倍时，可以比较好的还原信号，若小于最大组成频率的两倍则为欠采样,会出现信号混叠现象。

尼奎斯特频率是任何实时数字示波器可进行采集而不会混叠的最高频率。此频率为采样率的一半。超过尼奎斯特频率的频率将会导致采样不足，从而出现混叠。尼奎斯特频率也称为折叠频率，因为在查看频域时，混叠的频率分量将从该频率向后折叠。

采样率是被测信号带宽2倍以上，才能完全重建和恢复波形。离散系统的奈奎斯特频率高于被采样信号的最高频率或带宽，就可以避免混叠现象。

我们以示波器为例，看看频域中的尼奎斯特频率和混叠现象

信号中的频率分量高于采样率的一半时发生混叠。因为FFT频谱受到该频率的限制，所以任何较高的分量都以较低（混叠）的频率显示。下图对混叠做了说明。这是990 Hz方波的频谱，具有很多的谐波。方波的水平时间 /格设置可设置采样率，从而导致 FFT分辨率为 1.91Hz。从显示的 FFT频谱波形中可看到，高于尼奎斯特频率的输入信号分量要在显示中镜像（混叠），并反映在右边沿之外。

因为频率范围为从约等于 0 到尼奎斯特频率，所以防止混叠的最佳方式是确保频率范围大于输入信号中出现的高能量频率。

Nyquist采样定理 NYQUIST SAMPLING THEOREM

A signal must be sampled at a rate, fs, which is at least twice the highest frequency component, fm, present in the signal to avoid the loss of information. Thus,

If we do not satisfy this criterion we cannot recover the original signal. In particular, we may see frequency components that do not exist in the original signal. This is called aliasing.

根据奈奎斯特采样定律，采样率必须大于Fmax 的2倍。

对于 Nyquist 理论深信不疑，并且认为只要采样率是示波器带宽的 2 倍便足矣。而其他工程师则不相信建立于 Nyquist 标准的数字滤波技术，更愿意使用采样率为带宽技术指标 10 至 20 倍的示波器。实际情况介于二者之间。若要理解其中的原因，则必须了解 Nyquist 的理论及其与示波器频率响应之间的关系。

Harry Nyquist 博士假设：Nyquist采样定理对于具有最大频率 fMAX 的有限带宽信号，等间隔采样频率 fS 必须大于两倍的最大频率 fMAX，才能唯一地重建信号而不会有混叠现象。

Nyquist采样定理可以归纳为两个简单规则，然而，对于數字示波器技术而言却不是那么简单。

1、采集的最高频率分量必须小于采样率的一半。
2、第二个规则是必须等间隔采样，而这一点经常会被遗忘。

Nyquist 所称的 fMAX 就是我们通常所指的 Nyquist 频率（fN），它不同于示波器带宽（fBW）。如果示波器带宽恰好指定为 Nyquist（fN），则意味着示波器具有理想的砖墙式（brick-wall）响应，该响应在此相同频率下会完全衰减（如图 2 所示）。低于 Nyquist 频率的频率分量会完全通过（增益 =1），高于 Nyquist 频率的频率分量则会完全予以排除。然而，这种频率响应滤波器无法在硬件中实施。

带宽技术指标为1GHz及以下的大部分示波器具有称为高斯频率响应的响应类型。当信号输入频率接近示波器的指定带宽时，测得的幅度会慢慢下降。信号在带宽频率下将会衰减 3 dB（~30%）。如果示波器的带宽正好指定为 Nyquist（fN）（如图 3 所示），输入信号超过这个频率的分量尽管衰减超过3dB，但也被采样（红色阴影部分），尤其当输入信号中包含快速边沿时，情况更是如此（测量数字信号时）。这种现象违背了 Nyquist采样定理的第一条规则。

大多数示波器厂商不会将示波器的带宽指定在 Nyquist 频率（fN），不过也有部分厂商会这样做。但是，波形记录仪 / 数字转换器的厂商往往会将其仪器的带宽指定在 Nyquist 频率。现在我们看一下，如果示波器的带宽与 Nyquist 频率（fN）相同时会是什么状况。

图 4 显示：在三或四通道模式下工作时， 500-MHz 带宽的示波器正好以1GSa/s的速度进行采样。尽管输入信号的基本频率（时钟频率）处于 Nyquist 的范围内，但是信号边沿所包含的重要频率分量远落在 Nyquist 频率（fN）之外。仔细查看会发现，该信号的边沿具有不同程度的预冲、过冲和各种边沿速度，呈现出“不稳定” 的趋势。这就是混叠的迹象，它清晰地表明仅仅使用带宽为采样率 2 倍的示波器还不足以获得可靠的数字信号测量结果。

FFT快速傅里叶变换

FFT快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform）是快速计算序列的离散傅里叶变换（DFT）或其逆变换的方法。傅里叶分析将信号从原始域（通常是时间或空间）转换到频域的表示或者逆过来转换。FFT会通过把DFT矩阵分解为稀疏（大多为零）因子之积来快速计算此类变换。

DFT（Discrete Fourier Transform）离散傅里叶变换，其实也只是傅里叶变换（Fourier Transform）适合计算机运算的一个形式，是信号分析的一种近似方法。也就是说，DFT分析出来的频谱结果，并不是当前实际信号的频谱，也不是采样到的这段数据的频谱，而是把采样到的这段数据作为一个周期进行复制延拓出来的这个周期信号的频谱。

混叠利用离散傅里叶变换（DFT）对信号Z域进行频域抽样时，取样点数小于时域列长所引起的时域周期延拓序列互相交叠的现象。

混叠对时间序列z变换域进行频域取样时抽样点数过低时产生的现象，它体现离散傅里叶变换对时间序列z变换域函数进行频域取样时对取样点数的限制。如果x(n)是列长为M的有限长序列，频域取样点数为N，则当N<M时，x(n)因频域抽样而发生周期延拓，生成的周期序列某些部分就会交叠在一起，产生混叠现象。此时，不能从该周期序列中提取不失真的一个周期以恢复原序列x(n)。因此，对于列长为M的有限长序列x(n)，为克服混叠现象，频率取样不失真的条件是N≥M。

结合奈奎斯特采样定理

f(s)≥f(h)

并引入频率分辨率定义式

F=f(s)/N

可以推得，当高频容量f(h)和频率分辨率F均给定时，频域取样点数N必须满足

N≥2f(h)/F

这是未采用任何特殊数据处理（例如加窗处理）情况下，为实现基本的DFT算法所必须满足的最低条件。

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型号- U8480,B2911A,U1272A,N8926A,34460A,N7040A,U8000,N9340B,53140,N5742A,N5766A,34905A,N9918A,N6735B,N8480,N5743A,N5767A,N1914A,3024T,3012T,U1273A,34904A,N6746B,N6734B,U3800,U1282A,N8948A,34470A,N7042A,N1913A,N5744A,N5768A,34903A,N8924A,N9916A,N9928A,34939A,N6701C,N8949A,U1271A,N8925A,N8937A,N7041A,N1912A,N9000B,N5745A,N5769A,N2819A,3022T,3034T,N6700C,34902A,N9917A,34938A,N6736B,U1600,8491A,DSOX1102G,DSOX1102A,N9320B,P-SERIES,33509B,N7020A,N1911A,N9344C,N5746A,N3302A,N2818A,34901A,34937A,U1701B,82357B,U1273AX,U2802A,N5181B,N2142A,U1281A,B2902A,4024A,N5747A,N3303A,8490G,N2805A,3032T,N6702C,U1700,N6705C,N8928A,N9342C,33519B,B2901A,N3304A,N5748A,34947A,N2804A,N8929A,N5171B,N9343C,N2140A,X-SERIES,B2912A,N3305A,U8903B,N5749A,4022A,34934A,4034A,34946A,8480D,3054T,U2702A,N3306A,U1733C,U1210,U2300,N5700,34945A,3458A,TU1453A,U2701A,B2962A,1146B,N3307A,1147B,N7026A,33600A,33612A,B2961A,N9322C,N9310A,U1731C,2002A,53200,2014A,3104T,U1610A,U2723A,33611A,2004A,U1732C,J7205A,34942A,U3606B,53210A,J7205B,U2722A,N1810UL,33622A,3102T,34941A,N8760A,2012A,2024A,U2500,U1620A,33512B,33500B,33621A,N1810TL,3004A,N6700,N6705,N8761A,N2821A,33511B,N3300,4104A,2022A,N2820A,U2600,33510B,33522B,3014T,N2843A,E36100B,33521B,N9962A,87106D,AC6804B,E4982A,DAQM905A,34950A-34959A,N6750,N9950A,N8740A,E36103B,U2020,EDUX1002A,N9951A,33520B,N7007A,83050A,N2962A,53131A,P9243A,E4981A,U2741A,34972A,E36102B,J7211B,J7211A,J7211C,E36320A,N8741A,AC6802B,DAQM903A,U1270,N9960A,E36311A,N8762A,E36105B,N6781A,U2000,E3641A,EDUX1002G,N2863B,AC6803B,DAQM904A,N8900,U1280,84904L,U2751A,34970A,N9961A,B2900,E36104B,E3640A,AC6800B,N2862B,6002A,E3600,E-SERIES,E36313A,DAQM900A,U1250,U5850,N8756A,N8732A,N8950A,AC6801B,10070D,DAQM902A,U2761A,34980A,E36300A,E36312A,N6782A,DAQM901A,E36106B,53220A,N8757A,87222D,N8733A,N8951A,87222E,N9952A,87104D,P9242A,E4980A,6004A,53132A,N6785A,N6773A,U1452A,B2980A,N6761A,N8754A,N8742A,P9241A,N2871A,53230A,N8700,N4985A-S50,U1240,N6784A,E4981A-001,E4981A-002,N8755A,U1453A,N8731A,N2870A,8495D,N2797A,87405B,N2894A,N5770A,8495B,87405C,34420A,E3647A,10833F,34921A-25A,10833G,10833A,10833B,4154A,10833C,10833D,N6775A,U1450A,N8736A,N6763A,U1232A,N8954A,N6751A,N8930A,N7550,N9923A,N2796A,N9935A,N2893A,N5771A,E36100,E3646A,6811C,N4985A-S30,4032A,N8737A,N6786A,N6774A,N8943A,N6762A,E5063A,10834A,N8955A,U1451A,8494G,N8931A,E3634A,U1233A,3052T,N2783B,P9371A,N2795A,N5772A,6813C,E3649A,6800C,6812C,N6753A,N8758A,U1460A,N6741B,U1242C,N8734A,U1242B,N8952A,N6777A,N8940A,N6765A,P9370A,N2891A,N2782B,EPM SERIES,53181A,N5761A,34931A-33A,34465A,E3648A,4054A,N8759A,N6764A,U1231A,U1461A,N6752A,E9320,83020A,N8735A,N8941A,N6776A,N2793A,DAQ970A,N2890A,L2060,N2781B,U1240C,N9914A,82350C,N5750A,N5762A,U2063,E5810B,N8934A,N6743B,N9926A,P1912A,N8946A,N6731B,N9938A,U1252B,E3643A,E3631A,N6755A,14585A,N2792A,N2780B,U1241C,N5763A,E4980AL,N5751A,E36300,E9300,N8923A,N9915A,N8935A,N6742B,N9927A,E3630A,U1241B,4052A,U1253B,E3642A,N6766A,34908A,N6754A,N2791A,N9912A,N8738A,N9936A,U1190,U2040,N5752A,N5764A,34450A,DAQM907A,N8932A,N8944A,34907A,N8920A,E3645A,N6745B,E3633A,N6733B,L2050,N2790A,U1251B,N8739A,N9913A,N9925A,N5741A,DAQM908A,N5765A,34461A,U2053,N8945A,N6732B,N9937A,N8957A,N8921A,E3632A,E3620A,N6756A,E3644A,N6744B

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