如何理解和优化模数转换过程中的量化误差？

在本系列文章中，我们将PCM（脉冲编码调制）视为模拟信号的数字表示方法。在PCM方法中，连续波的样本只允许取某些离散值。然后为这些幅度分配一个代码，其中每个代码地代表样本的幅度。这些作为数字数据的码字可以在各种情况下得到应用。模数转换器(ADC)是使用PCM概念将模拟信号实际转换为数字信号的设备或电路。它们在工业中有许多应用。例如，许多现代微控制器都配备了内置ADC转换器。这使得设计人员能够轻松地与模拟传感器连接，将环境中的模拟信号转换为数字数据，并在微控制器内对其进行处理以用于各种应用。模数转换过程可以通过各种架构执行，例如逐次逼近寄存器（SAR）、并行（闪存）转换、Σ-Δ转换等。数模转换器(DAC)的任务与ADC相反：它将数字值转换回连续的模拟信号。DAC用于将数字处理的结果转换为现实世界的变量，用于控制、信息显示或其他形式的模拟处理。图1显示了数字处理系统的总体框图。

图1：使用n位ADC和DAC连接数字处理系统与模拟世界模拟量通常代表现实世界的现象。在这种配置中，主要变量通常涉及诸如温度、光等的物理参数，其被换能器转换成电压或电流。这里，使用模拟滤波器来遵守采样定理。放置在ADC之前的个滤波器是LPF，称为抗混叠滤波器。该滤波器放置在ADC之前，可消除高于采样率一半(fs/2)的频率分量，这些分量可能会导致采样期间出现混叠。然后，滤波后的模拟信号由ADC模块转换为数字代码，并导入数字处理系统，该系统可以是微控制器或其他形式的数据处理和操作。之后，处理后的数字信号被馈送到DAC级，将其转换回模拟信号。放置在DAC模块之后的第二个滤波器也是LPF，称为重构滤波器。它还消除了高于奈奎斯特速率(fs/2)的频率。，模拟输出信号由执行器级转换回物理世界，以进行任何进一步的物理操作。例如，在音频信号处理配置中，ADC将麦克风捕获的模拟音频信号转换为数字信号，用于基于计算机的音效处理。然后DAC将处理后的数字信号转换回模拟形式，可以通过扬声器播放。在当代电子、仪器仪表、信息技术、数据采集和传输、控制系统、医学成像、和消费音频/视频以及计算机图形中，将模拟信号转换为数字已成为一个基本过程。在本文中，我们探讨了定义ADC在其应用中的有效性的关键性能标准。

量化误差

转换电路中存在多种误差源。其中，量化误差（Q e）或量化不确定性是显着影响A/D或D/A转换器性能的关键因素之一。当连续模拟信号近似为离散数字值时，在模数转换中会出现量化误差。在PCM编码器中，每个电压样本都已四舍五入（量化）到接近的可用电平，然后转换为其相应的二进制代码。当代码在解码器处转换回模拟时，将再现任何舍入误差。理论上，转换永远不会100%准确；也就是说，在转换过程中，有限数量的信息将永远丢失。这意味着当数字表示转换回模拟时，结果将与原始波形不同。我们将图2视为3位A/D转换器的框图。

图2：3位ADC框图

显然，3位ADC有8个数字（量子）电平。该系统的输出数字结果与模拟输入的比较如图3所示，并且图中标出了Q e的典型样本。

图3：3位ADC模拟波形的数字表示

现在，我们可以看看量化的效果。图4显示了满量程电压为1V的3位单极ADC的传输特性。

图4：满量程电压为1伏的3位ADC的特性图

图4表示一个3位量化器，它将一系列模拟输入值映射到仅八(23)个可能的输出数字值。如果输入信号的峰峰值为1V，则阶梯中的每个台阶（理想情况下）沿y轴的大小相同，根据以下公式定义为1LSB（有效位）：电压。在这种情况下，1LSB等于1/8V（或125mV）。例如，在这些条件下，不可能完美地编码300mV的值。接近的可用值是二进制010，它产生250mV。显然，所得到的舍入结果会在数字表示中产生一些误差。在理想的假设中，转换系统的特性可以是一条没有台阶的直线对角线。但实际上，ADC通过从预先建立的有限值列表中选择单个离散值来表示每个模拟输入样本来量化采样信号。该规则使模拟输入到数字输出的传递函数具有统一的“阶梯”特性。每个采样点处的实际模拟值和量化数字值之间的垂直差定义了量化误差(Qe)。图5中的量化误差图是由阶梯函数的实际值减去线性函数的理想值得到的。量化误差的幅度等于量子级别的一半(q/2)，其中q是单个步长的宽度。那么，Qe可以在±(1/2)LSB或±(q/2)的范围内波动，如图5所示。

图5：量化误差特征图

结果是锯齿形误差电压，表现为添加到模拟输入信号中的白噪声。量化误差是实际电压，因为它会改变信号幅度。因此，量化误差也称为量化噪声(Qn)。当用于转换的位数(n)较小时，量化误差通常较大，因为准确表示连续信号的量化级别较少。随着位数的增加，量化误差变得更小，从而可以更准确地表示原始模拟信号。实际上，可以将误差减小到在许多应用中可以忽略的小值。信号量化噪声比(SQNR)是原始模拟信号(Ps)的功率与模数转换期间引入的量化噪声(Pqn)的功率之间的比率的度量。然而，假设ADC相对没有随机噪声，并且可以轻松测量转换。然后，通常可以使用等式1以dB为单位计算信号与量化噪声比(SQNR)。

公式1：计算信号量化噪声比

在输入信号为全幅值正弦波的理想n位转换器场景中，可以使用公式2确定相应的SQNR。

公式2：计算n位ADC的SQNR

这给出了n位转换器的理想值，并表明分辨率每增加1位，SQNR就会提高约6dB。与量化误差相比，SQNR是评估模数转换质量的重要指标。SQNR值越高，表示精度越高，量化噪声对数字表示的影响越小。

A/D和D/A转换性能标准

影响ADC性能的规格与DAC的规格类似。除了SQNR之外，决定D/A和A/D转换器性能的其他一些主要因素是分辨率、采样率、速度、精度和动态范围。下面对它们进行解释。分辨率：在A/D系统中，分辨率是系统可以检测到的输入端电压的变化，并将其转换为输出端数字代码的相应变化。同样，对于D/A电路，分辨率是指电路可以产生的输出模拟信号的变化。D/A或A/DIC制造商通常以数字代码中的位数(n)或系统有效位(LSB)对应的电压来指定分辨率。表达分辨率的另一种方法是指示量化级别之间的电压阶跃幅度，也称为量化宽度(q)。对于n位DAC，LSB的权重为2-n。例如，当二进制输入代码增加1个LSB时，8位DAC可以解析满量程输出电压的28中的1个部分或0.39%。那么，对于满量程电压(VFS=Vmax–Vmin)等于10伏，8位系统的分辨率为0.039(=10/28)伏。一般来说，可以通过公式3以电压的形式计算。

公式3：计算n位ADC的分辨率

采样率：采样率表示每单位时间对模拟信号进行采样并转换为数字代码的频率。为了正确进行A/D转换，采样率必须至少是被采样的模拟信号频率的两倍，以满足奈奎斯特采样标准。在给定时间单位内采集的样本越多，以数字形式表示的模拟信号就越准确。速度：对于A/D转换器，速度被指定为转换时间，它表示完成单个转换过程所花费的时间，包括对模拟信号进行采样、处理和生成数字输出。在A/D转换器中，必须考虑转换速度以及其他时序因素来确定转换器的采样率。对于D/A转换器，速度被指定为稳定时间，它是输入处出现的二进制数据和输出电压达到稳定值之间的延迟。这设置了转换器可以处理的数据速率。精度：精度是转换器的输出与实际模拟信号值的符合程度。由于量化过程而产生舍入误差，导致与实际模拟值存在一定偏差。随着位数的增加，量化级别之间的步长减小，从而在模拟信号和数字信号之间转换时实现更高的精度。例如，八位字(n=8)提供256个不同值(2 8)进行表示，比使用具有16个不同值(=2 4)的四位字提供更的模拟信号转换。动态范围：动态范围是指 ADC 可以在其数字输出中准确表示的信号幅度范围，而不会显着损失精度。换句话说，动态范围是ADC可以有效处理的和输入信号电平之间的差值。动态范围表示为输入电压与可检测电压的比率，随后转换为分贝。动态范围(DR)的计算由公式4定义，结合了对数(dB)和线性（电压）方面。

公式4：计算n位ADC的动态范围

满量程电压(VFS=Vmax–Vmin)是ADC用于表示模拟输入信号的电压范围。例如，如果ADC使用Vref=5伏的参考电压，则输入电压应落在该范围内才能实现转换。对于12位ADC(n=12)和5伏参考电压，动态范围可评估如下：动态范围（以dB为单位）=20log(212)=20log(4096)≈72dB或者，动态范围（伏特）=5.212=5(4096)=20480伏必须记住，电子元件（包括转换器）的所有性能参数都会受到电源电压和温度变化的影响。数据表通常指定特定温度和电源电压条件下的这些参数，以提供标准化信息。然而，在实际系统中，操作条件可能与指定数据有很大偏差。因此，实际性能可能与数据表中概述的有所不同。