法动科技自主开发MLFMA用于芯片的电磁仿真，可同时适用于平面分层格林函数这类复杂的核函数

时间： 2022-11-16 来源：法动科技公众号

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一、后摩尔时代我们所遇到的瓶颈

后摩尔时代，IC技术瓶颈主要有如图 1-1所示的四点。其中，IC瓶颈之一、之二和之四均取决于高效准确的电磁设计。

图1-1 后摩尔时代IC技术瓶颈

传统的基于准静态的寄生参数提取算法，由于无法处理趋肤效应，无法捕捉互连线的频变效应，无法捕捉电场-磁场耦合效应（如图 1-2），所以其仿真精度不够，需要使用全波电磁仿真方法。

图1-2 准静态电磁计算的不足

二、常见全波电磁仿真方法介绍与比较

全波电磁仿真方法很多，图 2-1做了一个归类。在众多方法中，有限元（Finite Element Method, FEM）和矩量法（Method of Moment, MoM）是最有代表性的两种方法。FEM基于麦克斯韦方程的微分形式，该方法使用体剖分进行空间的全域离散，所以会产生较多的剖分单元。而MoM方法基于麦克斯韦方程的积分形式，可以使用面剖分或体剖分进行目标物体的离散，其生成的剖分个数远小于FEM。

图 2-2给出了体和面剖分基本单位形状。

图 2-2 剖分基本单元形状

图 2-3给出了不同算法的应用场景。传统的MoM和FEM方法由于计算效率问题，都只适用于较小规模的电磁问题。虽然MoM生成的未知数个数会远小于FEM，但是，MoM生成的矩阵是一个稠密矩阵，其直接求解的计算复杂度为O(N³)，即使使用迭代求解，每一次迭代其计算复杂度依然高达O(N²)。所以，一般可以采用基于MoM的快速算法减小计算复杂度，加速求解过程，并扩大求解规模。如果问题进一步扩大，则只能使用一些近似算法，如物理光学（Physical Optics, PO）或几何光学（Geometric Optics, GO）进行近似计算，这些方法主要用于超大电尺寸的物体散射问题。

进一步把问题聚焦于芯片的电磁仿真领域，虽然FEM、MoM及时域有限差分法(Finite Difference Time Domain, FDTD)等计算电磁方法都能用于芯片仿真。但是相对于基于微分方程的FEM和FDTD，目前专用的芯片电磁仿真软件基本都基于积分方程MoM法，比如Cadence和Keysight的芯片版图专用电磁仿真工具。虽然一些通用的电磁仿真软件（比如基于FEM的通用仿真软件）也能用于芯片电磁仿真，但是通用电磁仿真软件与芯片设计软件没有很好的交互，且基于FEM的软件需要施加边界条件，增加了使用的复杂度。更重要的，对于介质金属层层堆叠的芯片结构，FEM、FDTD等基于偏微分方程的数值算法需要对多层介质环境进行剖分，导致求解未知数巨大；而MoM可以把介质效应放到平面分层格林函数(Layered Medium Green’s Function)中，这样只需要对金属层进行表面网格剖分，相比FEM、FDTD等算法，MoM可以大大减少了求解未知数。

图 2-3 几种算法的应用范围

图 2-4 H-矩阵算法(绿色表示满足H-Matrix 稀疏化存储的矩阵单元)

然而对于大规模芯片问题，即使使用平面分层格林函数，MoM 生成的稠密矩阵方程的求解依然非常慢。随着多种快速低秩分解方法的提出，快速直接求解（Fast Direct Solver）方法在电磁计算领域得到了很大发展。利用相互分离的基函数组之间的低秩特性，直接求解方法将系统矩阵分割压缩成多层稀疏化表示形式。多层自适应交叉近似(Adaptive Cross Approximation Algorithm, ACA)矩阵分解算法、H 矩阵法（如图 2-4 示）和多层UV 方法等都是基于矩阵压缩的算法，但是直接对矩阵进行操作，压缩程度跟矩阵状态相关。另外，虽然直接法近些年发展很快，但是直接法的计算规模尚远不足以比拟快速迭代算法，且面向复杂工程需求，仍有很多亟待解决的挑战。

图 2-5 基于FFT的算法

使用快速迭代求解，是解决MoM稠密矩阵方程求解的另一种有效路径。比如基于快速傅里叶变换（FFT）的方法，如图 2-5所示。但是，对于面积分方程求解，为了实现FFT算法，该方法需要增加许多补零，导致效率降低。

三、法动科技的高效电磁仿真技术

图 3-1 20世纪最伟大的十大算法

快速多极子（Fast Multipole Method, FMM)作为20世纪最伟大的十大算法（如图 3-1所示）之一被用于包含电磁计算在内的多种应用中。该方法而后进一步被拓展成更高效的多层快速多极子(Multi-level Fast Multipole Algorithm, MLFMA)，它将整个场分为近场区和远场区重新组合加速矩阵-向量乘法，并将迭代方法的计算复杂度降低为O(NlogN)，极大地提高了仿真效率，扩大了仿真规模（如图 3-2所示）。